Zinseszins
\[
K_n=K_0(1+i)^n
\]
Der Zins wird in jeder neuen Periode nicht nur auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf bereits angefallene Zinsen berechnet.
Anfangskapital K₀
1.000,00 €
Endkapital Kₙ
1.276,28 €
Zinssatz i
5,00 %
Laufzeit n
5
Grundidee des Zinseszinses
Zinsfaktor q
\[
q=1+i
\qquad\Rightarrow\qquad
K_n=K_0q^n
\]
Der Faktor \(q\) beschreibt den Multiplikator pro Periode. Bei \(i=5\%\) gilt beispielsweise \(q=1{,}05\).
2.2 Zinseszins
Anfangskapital nachschüssig
\[
K_0=\frac{K_n}{(1+i)^n}
\]
Endkapital nachschüssig
\[
K_n=K_0(1+i)^n = K_0q^n
\]
Zinssatz nachschüssig
\[
i=\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}-1
\]
Laufzeit nachschüssig
\[
n=\frac{\ln\left(\frac{K_n}{K_0}\right)}{\ln q}
\]
Rechner für Zinseszins
Eingabewerte
Berechnung
Verwendete Formel
\(\displaystyle K_n=K_0(1+i)^n\)
Gesuchte Größe
Ergebnis
Zinsbetrag insgesamt
Zinsfaktor q
Gesamtfaktor Kₙ/K₀
ModellZinseszins
Berechnung möglich
Die Eingabewerte erfüllen die mathematischen Bedingungen.
Exponentielle Kapitalentwicklung
Gesamtkapital \(K_t\)
kumulierter Zinsbetrag
Aktueller Zeitpunkt
Zeitpunkt t
Kapital Kₜ
Kumulierte Zinsen
Periodenzins auf Kₜ
Exponentielles Wachstum
Beim Zinseszins wächst das Kapital nicht linear. Der Zinsbetrag nimmt von Periode zu Periode zu, weil die Zinsen selbst wieder verzinst werden.
Vertiefung
Zinseszins als exponentieller Prozess
Beim Zinseszins wird in jeder Periode das gesamte bis dahin angewachsene Kapital verzinst. Deshalb ist die Kapitalentwicklung nicht linear, sondern exponentiell.
Zinsfaktor q
Mit \(q=1+i\) lässt sich die Zinseszinsformel kompakt als \(K_n=K_0q^n\) schreiben. Das ist besonders praktisch für Umformungen und die Laufzeitberechnung.
Laufzeitberechnung mit Logarithmen
Wenn die Laufzeit gesucht ist, muss der Exponent isoliert werden. Das gelingt mit Logarithmen: \(n=\ln(K_n/K_0)/\ln(q)\).
Bedingungen
Für reale Ergebnisse müssen \(K_0>0\), \(K_n>0\) und \(q>0\) gelten. Für die Berechnung der Laufzeit darf außerdem \(q eq1\) sein.
Abgrenzung zu einfachen Zinsen
Einfache Zinsen führen zu linearem Wachstum, weil der Zins immer nur aus dem Anfangskapital berechnet wird. Zinseszins führt dagegen zu wachsendem Periodenzins und damit zu exponentiellem Wachstum.
Typische Anwendung
Zinseszins spielt in der Finanzmathematik, in der Investitionsrechnung, bei Sparplänen und in langfristigen Wachstumsprozessen eine zentrale Rolle.
Häufig gestellte Fragen
Wie wird das Endkapital beim Zinseszins berechnet?
\(K_n=K_0(1+i)^n=K_0q^n\).
Wie wird das Anfangskapital berechnet?
\(K_0=\frac{K_n}{(1+i)^n}\).
Wie berechnet man den Zinssatz?
\(i=\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}-1\).
Wie berechnet man die Laufzeit?
\(n=\frac{\ln(K_n/K_0)}{\ln q}\) mit \(q=1+i\).
Was bedeutet q?
\(q\) ist der Zinsfaktor pro Periode und ergibt sich aus \(q=1+i\).
Warum ist das Wachstum exponentiell?
Weil in jeder Periode auch die bereits angefallenen Zinsen erneut verzinst werden.