Differenzenquotient
Er beschreibt die mittlere Änderungsrate zwischen zwei verschiedenen Stellen.
\[
m_{\mathrm{Sek}}=
\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
\]
Sekantensteigung
0
Tangentensteigung
0
Abweichung
0
Aktuelles Δx
0
Grundlagen
Differenzialquotient
Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist die Ableitung an der Stelle \(x_0\).
\[
f'(x_0)=
\lim_{\Delta x\to0}
\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
\]
Geometrische Bedeutung
Für endliches \(\Delta x\) verbindet eine Sekante die Punkte \(P\) und \(Q\). Für \(\Delta x\to0\) geht sie in die Tangente über.
\[
P=(x_0,f(x_0)),\qquad
Q=(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))
\]
Tangentengleichung
Die Ableitung liefert die Steigung der Tangente durch \(P\).
\[
t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
\]
Differenzenquotienten-Rechner
Einstellungen
Ergebnisse
Aktueller Differenzenquotient
\(\displaystyle \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)
Ausgangsstelle x₀
Zweite Stelle x₀+Δx
Funktionswert f(x₀)
Funktionswert f(x₀+Δx)
Sekantensteigung
Exakte Ableitung f′(x₀)
Absolute Abweichung
Relative Abweichung
Gültiger Differenzenquotient
Die Sekantensteigung kann berechnet werden.
Sekante und Tangente
Funktionsgraph
Sekante durch P und Q
Tangente in P
Darstellungsoptionen
Punkt P
Punkt Q
Δx
Δy
Interpretation
Je kleiner \(|\Delta x|\) wird, desto stärker nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung.
Grenzwerttabelle
| Δx | x₀+Δx | f(x₀+Δx) | Differenzenquotient | Abweichung zu f′(x₀) |
|---|
Formelsammlung
Differenzenquotient
\[
\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
\]
Mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen.
Differenzialquotient
\[
f'(x_0)=
\lim_{\Delta x\to0}
\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
\]
Momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0\).
Punkte der Sekante
\[
P=(x_0,f(x_0)),\quad
Q=(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))
\]
Die Sekante verläuft durch P und Q.
Tangentengleichung
\[
t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
\]
Tangente an den Graphen in P.
Alternative Schreibweise
\[
f'(x_0)=
\lim_{h\to0}
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\]
\(h\) und \(\Delta x\) bezeichnen hier dieselbe Schrittweite.
Ableitungsfunktion
\[
f'(x)=
\lim_{\Delta x\to0}
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\]
Definition der Ableitung als Funktion von \(x\).
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Vertiefung
Mittlere Änderungsrate
Der Differenzenquotient misst die durchschnittliche Änderung einer Funktion auf einem Intervall. Geometrisch entspricht er der Steigung einer Sekante.
Momentane Änderungsrate
Die Ableitung beschreibt die momentane Änderung an genau einer Stelle. Sie entsteht als Grenzwert der mittleren Änderungsraten.
Grenzübergang
\(\Delta x\) wird nicht direkt null gesetzt. Stattdessen untersucht man Werte, die sich null von rechts und links beliebig stark annähern.
Differenzierbarkeit
Existiert der Grenzwert eindeutig und endlich, ist die Funktion an der betrachteten Stelle differenzierbar.
Einseitige Grenzwerte
Die Ableitung existiert nur, wenn der Grenzwert von links und von rechts übereinstimmt.
Anwendungen
Ableitungen werden für Geschwindigkeit, Grenzkosten, Grenzerlös, Wachstumsraten, Optimierung und viele weitere Anwendungen genutzt.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Differenzenquotient?
Er ist die mittlere Änderungsrate zwischen \(x_0\) und \(x_0+\Delta x\).
Was ist der Differenzialquotient?
Er ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(\Delta x\to0\) und damit die Ableitung.
Warum darf Δx nicht null sein?
Weil \(\Delta x\) im Nenner steht. Der Quotient wäre bei \(\Delta x=0\) nicht definiert.
Was passiert mit der Sekante?
Der Punkt Q nähert sich P. Im Grenzfall wird die Sekante zur Tangente.
Wann existiert die Ableitung?
Wenn die Grenzwerte des Differenzenquotienten von links und rechts übereinstimmen.