Summen- und Differenzenregel
\[
h(x)=f(x)\pm g(x)
\]
\[
h'(x)=f'(x)\pm g'(x)
\]
Funktionswert h(x)
0
Ableitung h′(x)
0
Numerische Ableitung
0
Abweichung
0
Grundregeln der Ableitung
Produktregel
\[
h(x)=f(x)\,g(x)
\]
\[
h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\]
Quotientenregel
\[
h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
\]
\[
h'(x)=
\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
\]
Kettenregel
\[
h(x)=f(g(x))
\]
\[
h'(x)=f'(g(x))\,g'(x)
\]
Potenzregel
\[
f(x)=x^n
\]
\[
f'(x)=n x^{n-1}
\]
Faktorregel
\[
f(x)=a\,u(x)
\]
\[
f'(x)=a\,u'(x)
\]
Interaktiver Regelrechner
Parameter
Ergebnisse
Aktuelle Funktion
\(\displaystyle h(x)=2x^2+3x^3\)
\(\displaystyle h'(x)=4x+9x^2\)
Regel
Auswertungsstelle x
Funktionswert h(x)
Analytische Ableitung h′(x)
Numerische Ableitung
Absolute Abweichung
Regel korrekt angewendet
Analytische und numerische Ableitung stimmen überein.
Rechenweg
1. Ausgangsfunktion
\(\displaystyle h(x)=2x^2+3x^3\)
2. Passende Ableitungsregel
\(\displaystyle (f+g)'=f'+g'\)
3. Einzelne Ableitungen beziehungsweise innere und äußere Funktion
4. Einsetzen
5. Vereinfachtes Ergebnis
Funktionsgraph
\(h(x)\)
\(h'(x)\)
numerische Kontrollstelle
Darstellungsoptionen
Aktueller Punkt auf h
Aktueller Punkt auf h′
Wert der inneren Funktion
Definitionshinweis
Numerische Kontrolle
Die numerische Ableitung wird mit einem symmetrischen Differenzenquotienten und einer kleinen Schrittweite geprüft.
Formelsammlung
Summenregel
\[
(f+g)'=f'+g'
\]
Jeder Summand wird einzeln abgeleitet.
Differenzenregel
\[
(f-g)'=f'-g'
\]
Das Minuszeichen bleibt erhalten.
Produktregel
\[
(fg)'=f'g+fg'
\]
Erster Faktor abgeleitet mal zweiter plus erster mal zweiter abgeleitet.
Quotientenregel
\[
\left(\frac{f}{g}\right)'=
\frac{f'g-fg'}{g^2}
\]
Der Nenner darf nicht null sein.
Kettenregel
\[
(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)
\]
Äußere Ableitung an der inneren Funktion mal innere Ableitung.
Potenzregel
\[
(x^n)'=nx^{n-1}
\]
Exponent nach vorn, anschließend um eins verringern.
Faktorregel
\[
(a f)'=a f'
\]
Konstante Faktoren bleiben erhalten.
Lineare innere Funktion
\[
\frac{d}{dx}(ax+b)^n
=na(ax+b)^{n-1}
\]
Potenzregel und Kettenregel werden kombiniert.
Interaktive Übung
Aufgabe
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Bearbeitete Aufgaben
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Vertiefung
Regel zuerst erkennen
Vor dem Ableiten muss die äußere Struktur der Funktion erkannt werden. Eine Summe verlangt die Summenregel, ein Produkt die Produktregel und eine Verkettung die Kettenregel.
Mehrere Regeln kombinieren
Komplexe Funktionen benötigen häufig mehrere Regeln. Ein Quotient kann im Zähler ein Produkt und im Nenner eine verkettete Funktion enthalten.
Produktregel nicht mit Potenzregel verwechseln
Das Produkt zweier Funktionen wird nicht dadurch abgeleitet, dass beide Ableitungen multipliziert werden. Richtig ist \(f'g+fg'\).
Quotientenregel
Im Zähler steht \(f'g-fg'\), im Nenner das Quadrat der ursprünglichen Nennerfunktion. Die Reihenfolge im Zähler ist entscheidend.
Kettenregel
Bei einer Verkettung wird zuerst die äußere Funktion abgeleitet, die innere Funktion bleibt zunächst stehen. Danach wird mit der inneren Ableitung multipliziert.
Numerische Prüfung
Eine analytisch berechnete Ableitung kann näherungsweise durch einen symmetrischen Differenzenquotienten überprüft werden. Kleine Restabweichungen entstehen durch Rundung.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Summenregel?
\((f+g)'=f'+g'\). Bei einer Differenz gilt entsprechend \((f-g)'=f'-g'\).
Wie lautet die Produktregel?
\((fg)'=f'g+fg'\).
Wie lautet die Quotientenregel?
\((f/g)'=(f'g-fg')/g^2\), wobei \(g(x)\neq0\) gelten muss.
Wie lautet die Kettenregel?
Für \(h(x)=f(g(x))\) gilt \(h'(x)=f'(g(x))g'(x)\).
Wie lautet die Potenzregel?
Für \(f(x)=x^n\) gilt \(f'(x)=nx^{n-1}\).
Welche Regel wendet man zuerst an?
Zuerst wird die äußerste Verknüpfung der Funktion bestimmt. Danach arbeitet man schrittweise nach innen.