n-Vektoren
\[
\mathbf a=(a_1,a_2,\ldots,a_n),\qquad
\mathbf b=(b_1,b_2,\ldots,b_n)
\]
Vektoren gleicher Dimension können komponentenweise addiert und subtrahiert werden.
Skalarprodukt a·b
0
Norm ||a||
0
Norm ||b||
0
Winkel zwischen a und b
0°
Grundlagen
Summen- und Differenzvektor
\[
\mathbf a+\mathbf b=
(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n)
\]
\[
\mathbf a-\mathbf b=
(a_1-b_1,\ldots,a_n-b_n)
\]
Geometrische Verkettung
\[
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
=\overrightarrow{AC}
\]
Im Polygonzug wird der zweite Vektor an die Spitze des ersten Vektors gesetzt.
Skalarprodukt
\[
\mathbf a\cdot\mathbf b=
\sum_{i=1}^{n}a_i b_i
\]
\[
\mathbf a\cdot\mathbf b=
\|\mathbf a\|\,\|\mathbf b\|\cos(\varphi)
\]
Norm
\[
\|\mathbf a\|=
\sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}
=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}
\]
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
\[
\left|\mathbf a\cdot\mathbf b\right|
\leq
\|\mathbf a\|\cdot\|\mathbf b\|
\]
\[
\|\mathbf a\|
=\sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}
=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}
\]
Gleichheit gilt genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind.
Interaktiver Vektorrechner
Vektoren eingeben
Vektor a
Vektor b
Ergebnisse
Aktuelle Vektoren
\(\displaystyle \mathbf a=(2,1,0),\ \mathbf b=(1,2,0)\)
Summenvektor a+b
Differenzvektor a−b
Skalarprodukt a·b
Norm ||a||
Norm ||b||
Winkel φ
Skalierter Vektor γa
Skalierter Vektor γb
|a·b|
||a||·||b||
Cauchy-Schwarz bestätigt
Die Ungleichung ist erfüllt.
Grafische Darstellung
Vektor a = AB
Vektor b = BC
a+b = AC
a−b
Darstellungsoptionen
Punkt A(0 | 0)
Punkt B
Punkt C
Projektion
Geometrische Bedeutung
Es gilt \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Bei Dimensionen über zwei werden nur die ersten beiden Komponenten dargestellt.
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Dreidimensionales Kreuzprodukt
Für das Kreuzprodukt werden die Komponenten \(a_1,a_2,a_3\) und \(b_1,b_2,b_3\) verwendet.
\[
\mathbf a\times\mathbf b=
\begin{pmatrix}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1
\end{pmatrix}
\]
Ergebnis und Kontrolle
Kreuzprodukt
\(\displaystyle \mathbf a\times\mathbf b=(0,0,3)\)
Norm ||a×b||
a·(a×b)
b·(a×b)
Orientierte Fläche
Orthogonalität bestätigt
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren.
Formelsammlung
n-Vektoren
\[
\mathbf a=(a_1,\ldots,a_n)
\]
Ein Vektor wird durch seine Komponenten beschrieben.
Vektoraddition
\[
\mathbf a+\mathbf b=
(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n)
\]
Komponenten gleicher Position werden addiert.
Differenzvektor
\[
\mathbf a-\mathbf b=
(a_1-b_1,\ldots,a_n-b_n)
\]
Komponenten gleicher Position werden subtrahiert.
Skalarmultiplikation
\[
\gamma\mathbf a=
(\gamma a_1,\ldots,\gamma a_n)
\]
Jede Komponente wird mit dem Skalar multipliziert.
Skalarprodukt
\[
\mathbf a\cdot\mathbf b=
\sum_{i=1}^{n}a_i b_i
\]
Das Ergebnis ist eine reelle Zahl.
Regeln des Skalarprodukts
\[
\mathbf a\cdot\mathbf b=
\mathbf b\cdot\mathbf a
\]
\[
\mathbf a\cdot(\mathbf b+\mathbf c)=
\mathbf a\cdot\mathbf b+
\mathbf a\cdot\mathbf c
\]
Kommutativität und Distributivität.
Norm
\[
\|\mathbf a\|=
\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}
\]
Euklidische Länge eines Vektors.
Winkel
\[
\cos(\varphi)=
\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}
{\|\mathbf a\|\,\|\mathbf b\|}
\]
Nur für zwei von null verschiedene Vektoren.
Kreuzprodukt
\[
\mathbf a\times\mathbf b=
\begin{pmatrix}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1
\end{pmatrix}
\]
Das Ergebnis ist ein zu beiden Vektoren orthogonaler Vektor.
Regeln des Kreuzprodukts
\[
\mathbf a\times\mathbf b=
-(\mathbf b\times\mathbf a)
\]
\[
\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=
\mathbf a\times\mathbf b+
\mathbf a\times\mathbf c
\]
Antikommutativität und Distributivität.
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
\[
\left|\mathbf a\cdot\mathbf b\right|
\leq
\|\mathbf a\|\cdot\|\mathbf b\|
\]
\[
\|\mathbf a\|
=\sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}
=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}
\]
Der Betrag des Skalarprodukts ist höchstens so groß wie das Produkt der beiden Normen.
Orthogonalität
\[
\mathbf a\perp\mathbf b
\quad\Longleftrightarrow\quad
\mathbf a\cdot\mathbf b=0
\]
Gilt für von null verschiedene Vektoren im euklidischen Raum.
Interaktive Übung
Aufgabe
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Vertiefung
Komponentenweise Rechnung
Vektoraddition und Subtraktion erfolgen komponentenweise. Deshalb müssen beide Vektoren dieselbe Dimension besitzen.
Skalarprodukt und Winkel
Das Skalarprodukt verbindet die algebraische Darstellung durch Komponenten mit der geometrischen Darstellung über Normen und Winkel.
Orthogonale Vektoren
Zwei von null verschiedene Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt liefert in drei Dimensionen einen Normalenvektor. Seine Norm entspricht dem Flächeninhalt des von den Ausgangsvektoren aufgespannten Parallelogramms.
Cauchy-Schwarz
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung stellt sicher, dass der aus dem Skalarprodukt berechnete Kosinuswert zwischen minus eins und eins liegt.
Anwendungen
Vektoren werden in Geometrie, Physik, Mechanik, Computergrafik, Datenanalyse, Optimierung und maschinellem Lernen eingesetzt.
Häufig gestellte Fragen
Wie addiert man zwei Vektoren?
Die Komponenten gleicher Position werden addiert: \((a_1,\ldots,a_n)+(b_1,\ldots,b_n)=(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n)\).
Wie berechnet man das Skalarprodukt?
\(\mathbf a\cdot\mathbf b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\).
Wie berechnet man die Norm?
\(\|\mathbf a\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\).
Wann sind zwei Vektoren orthogonal?
Für von null verschiedene Vektoren gilt: \(\mathbf a\perp\mathbf b\) genau dann, wenn \(\mathbf a\cdot\mathbf b=0\).
Wann ist das Kreuzprodukt definiert?
Das in dieser Form verwendete Kreuzprodukt ist für dreidimensionale Vektoren definiert.
Was besagt Cauchy-Schwarz?
Es gilt \(\left|\mathbf a\cdot\mathbf b\right|\leq\|\mathbf a\|\cdot\|\mathbf b\|\). Dabei ist \(\|\mathbf a\|=\sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}\).