Volle Zinsperioden
\[
n_1=\operatorname{int}(n)
\]
Der ganzzahlige Anteil \(n_1\) wird mit Zinseszins berechnet.
Anfangskapital K₀
10.000,00 €
Endkapital Kₙ
13.081,89 €
Zinssatz i
5,00 %
Laufzeit n
5,5
Grundidee der gemischten Verzinsung
Rumpfperiode
\[
n_2=n-n_1
\]
Der verbleibende Anteil \(n_2\) wird nach der gemischten Konvention einfach verzinst.
2.3 Gemischte Zinsen
Endkapital einfache Zinsen
\[
K_n=K_0\left(1+(n_1+n_2)i\right)
\]
Endkapital gemischte Zinsen
\[
K_n=K_0(1+i)^{n_1}(1+n_2i)
\]
Anfangskapital
\[
K_0=\frac{K_n}{(1+i)^{n_1}(1+n_2i)}
\]
Newton-Verfahren
\[
i_{k+1}=i_k-\frac{f(i_k)}{f'(i_k)}
\]
Rechner für gemischte Zinsen
Eingabewerte
Volle Perioden n₁5
Rumpfperiode n₂0,5
Berechnung
Verwendete Formel
\(\displaystyle K_n=K_0(1+i)^{n_1}(1+n_2i)\)
Gesuchte Größe
Ergebnis
Zinsbetrag insgesamt
Volle Perioden n₁
Rumpfperiode n₂
Newton-Iterationennicht erforderlich
Berechnung möglich
Die Eingabewerte erfüllen die mathematischen Bedingungen.
Verzinsungsmodelle vergleichen
Modellvergleich
Die aktuellen Rechnerwerte werden mit drei Modellen ausgewertet:
\[
K_n^{\mathrm{einfach}}=K_0(1+ni)
\]
\[
K_n^{\mathrm{gemischt}}=K_0(1+i)^{n_1}(1+n_2i)
\]
\[
K_n^{\mathrm{exakt}}=K_0(1+i)^n
\]
Ergebnisse
Einfache Verzinsung
Gemischte Verzinsung
Exakte exponentielle Verzinsung
Gemischt minus einfach
Exakt minus gemischt
Rumpfperiode
Einordnung
Die gemischte Verzinsung verwendet Zinseszins für die vollen Perioden und eine lineare Verzinsung für den Periodenrest.
Newton-Verfahren zur Zinssatzberechnung
Funktion
\[
f(i)=-K_n+K_0(1+i)^{n_1}+K_0(1+i)^{n_1}n_2i
\]
Ableitung
\[
f'(i)=(1+i)^{n_1}K_0\left(\frac{n_1(1+n_2i)}{1+i}+n_2\right)
\]
\[
i_{k+1}=i_k-\frac{f(i_k)}{f'(i_k)}
\]
Aktueller Rechenstand
Wählen Sie im Rechner „Zinssatz“, damit die Iterationswerte angezeigt werden.
Kapitalentwicklung
Gemischte Verzinsung
Einfache Verzinsung
Aktueller Zeitpunkt
Zeitpunkt t
Volle Perioden t₁
Rumpfperiode t₂
Gemischtes Kapital
Einfach verzinstes Kapital
Differenz
Verlauf
Innerhalb jeder Rumpfperiode verläuft das gemischte Modell linear. An den ganzzahligen Periodengrenzen steigt die Steigung.
Vertiefung
Gemischte Verzinsung
Gemischte Zinsen kombinieren zwei Rechenregeln. Volle Zinsperioden werden exponentiell verzinst. Der verbleibende Periodenanteil wird linear auf das nach den vollen Perioden erreichte Kapital angewendet.
Aufteilung der Laufzeit
Die gesamte Laufzeit wird in \(n_1\) vollständige Perioden und den Rest \(n_2\) zerlegt. Dabei gilt \(n_1=\operatorname{int}(n)\) und \(n_2=n-n_1\).
Zinssatz als numerisches Problem
Bei der Zinssatzberechnung kommt \(i\) sowohl in der Potenz \((1+i)^{n_1}\) als auch im Faktor \((1+n_2i)\) vor. Eine einfache algebraische Isolierung ist deshalb im allgemeinen Fall nicht möglich.
Newton-Verfahren
Das Newton-Verfahren nähert die Nullstelle von \(f(i)\) iterativ an. Ein geeigneter Startwert und eine von null verschiedene Ableitung sind für eine stabile Berechnung erforderlich.
Laufzeitberechnung
Bei positivem Zinssatz lässt sich zunächst die Anzahl der vollständigen Perioden aus dem Verhältnis \(K_n/K_0\) bestimmen. Anschließend wird die Rumpfperiode aus dem linearen Restfaktor berechnet.
Abgrenzung
Bei einfacher Verzinsung bleibt die absolute Zinsbasis konstant. Beim reinen Zinseszins wird auch die Rumpfperiode exponentiell behandelt. Die gemischte Verzinsung liegt konzeptionell zwischen diesen beiden Modellen.
Häufig gestellte Fragen
Was sind gemischte Zinsen?
Volle Perioden werden mit Zinseszins und die verbleibende Rumpfperiode mit einfacher Verzinsung berechnet.
Wie wird das Endkapital berechnet?
\(K_n=K_0(1+i)^{n_1}(1+n_2i)\).
Wie werden n₁ und n₂ bestimmt?
\(n_1=\operatorname{int}(n)\) und \(n_2=n-n_1\).
Warum ist das Newton-Verfahren erforderlich?
Weil der Zinssatz gleichzeitig in einer Potenz und in einem linearen Faktor vorkommt und sich daher im allgemeinen Fall nicht elementar isolieren lässt.
Wie wird das Anfangskapital berechnet?
\(K_0=K_n/\left((1+i)^{n_1}(1+n_2i)\right)\).
Was passiert bei einer ganzzahligen Laufzeit?
Dann ist \(n_2=0\). Die Formel reduziert sich auf die gewöhnliche Zinseszinsformel \(K_n=K_0(1+i)^n\).