Nachschüssige Zahlung
\[
t=1,2,\dots,n
\]
Die erste Rate wird am Ende der ersten Periode gezahlt. Die letzte Rate erfolgt am Ende der letzten Periode zum Zeitpunkt \(t=n\).
Rate r
1.000,00 €
Rentenendwert Rₙ
12.577,89 €
Rentenbarwert R₀
7.721,73 €
Zinsfaktor q
1,05
4 Rentenrechnung
Zinsfaktor
\[
q=1+i
\]
Jede Rate wird bis zum Endzeitpunkt aufgezinst beziehungsweise zum Anfangszeitpunkt abgezinst.
4.2 Nachschüssige Renten
Rentenendwert
\[
R_n=r\frac{q^n-1}{i}
\]
Rentenendwertfaktor
\[
REFN=\frac{q^n-1}{i}
\]
Rentenbarwert
\[
R_0=r\frac{q^n-1}{iq^n}
\]
Rentenbarwertfaktor
\[
RBFN=\frac{q^n-1}{iq^n}
\]
Zinssatz Endwertgleichung
Funktion
\[
f(i)=-R_n+r\frac{q^n-1}{i}
\]
Ableitung
\[
f'(i)=r\frac{inq^{n-1}-q^n+1}{i^2}
\]
Zinssatz Barwertgleichung
Funktion
\[
f(i)=-R_0+r\frac{q^n-1}{iq^n}
\]
Ableitung
\[
f'(i)=r\frac{q+ni-q^{n+1}}{i^2q^{n+1}}
\]
Laufzeit bei gegebenem Rentenendwert
\[
n=\frac{\ln\left(1+\frac{iR_n}{r}\right)}{\ln q}
\]
Laufzeit bei gegebenem Rentenbarwert
\[
n=\frac{\ln\left(\frac{r}{r-iR_0}\right)}{\ln q}
\]
Rentenbarwert bei ewiger Laufzeit und gleichbleibenden Renten
\[
R_0=\frac{r}{i}
\]
Direkter Rentenrechner
Eingabewerte
Ergebnisse
Rentenendwert Rₙ
12.577,89 €
\(\displaystyle R_n=1.000\cdot\frac{1{,}05^{10}-1}{0{,}05}\)
Rentenbarwert R₀
Rentenendwertfaktor REFN
Rentenbarwertfaktor RBFN
Summe der Einzahlungen
Zinsanteil im Endwert
Zinsfaktor q
Zahlungszeitpunkte
Anzahl der Zahlungen
Nachschüssige Rente berechnet
Die erste Zahlung erfolgt erst am Ende der ersten Periode.
Rate, Zinssatz oder Laufzeit bestimmen
Bekannte Werte
Inverse Berechnung
Gesuchte Rate r
Verwendete Gleichung
Kontrollwert
Bereit
Wählen Sie die gesuchte Größe und die zugrunde liegende Gleichung.
Newton-Iterationen
| k | iₖ | f(iₖ) | f′(iₖ) | iₖ₊₁ |
|---|
Zahlungs- und Bewertungsplan
| Nr. | Zeitpunkt t | Rate r | Aufzinsungsfaktor | Beitrag zu Rₙ | Abzinsungsfaktor | Beitrag zu R₀ |
|---|
Entwicklung der nachschüssigen Rente
Rentenendwert nach k Zahlungen
Summe der Einzahlungen
Zinsanteil
Aktueller Schritt k
Anzahl Zahlungen k
Endwert nach k Zahlungen
Einzahlungen
Zinsanteil
Barwert der k Zahlungen
Zinsfaktor q
Nachschüssiger Effekt
Jede Rate wird erst am Periodenende gezahlt und daher eine Periode kürzer verzinst als bei einer ansonsten gleichen vorschüssigen Rente.
Ewige Rente
\[
R_0=\frac{r}{i}
\]
Für eine ewige nachschüssige Rente mit konstanten Zahlungen und positivem Zinssatz gilt der Barwert \(R_0=r/i\).
Die Formel ist nur für \(i>0\) sinnvoll. Bei \(i\le 0\) ist kein endlicher Barwert definiert.
Mini-Rechner
Barwert der ewigen Rente
20.000,00 €
\(\displaystyle R_0=\frac{1.000}{0{,}05}\)
Ewige Rente
Der Zinssatz muss positiv sein.
Vertiefung
Nachschüssige Zahlung
Bei einer nachschüssigen Rente erfolgt jede Rate am Ende der Periode. Deshalb fehlen im Gegensatz zur vorschüssigen Rente die zusätzlichen Multiplikatoren \(q\) in den Hauptformeln.
Rentenendwert
Der Rentenendwert fasst alle Zahlungen am Ende der Laufzeit zusammen. Frühere Zahlungen werden über mehr Perioden aufgezinst und tragen deshalb stärker zum Endwert bei.
Rentenbarwert
Der Rentenbarwert bewertet alle künftigen Zahlungen zum Zeitpunkt \(t=0\). Jede Zahlung wird um die Anzahl der bis zu ihrem Fälligkeitszeitpunkt verbleibenden Perioden abgezinst.
Berechnung des Zinssatzes
Der Zinssatz steht sowohl in der Basis \(q=1+i\) als auch im Nenner. Eine elementare Umstellung ist daher im Allgemeinen nicht möglich. Das Newton-Verfahren liefert eine numerische Lösung.
Ewige Rente
Für eine unendliche, gleichbleibende nachschüssige Rente mit positivem Zinssatz gilt der Barwert \(R_0=r/i\). Der Ausdruck ist das klassische Perpetuitätsmodell.
Grenzfall ohne Zinsen
Für \(i=0\) gilt bei endlicher Laufzeit \(R_n=R_0=nr\). Der Rechner verwendet diesen Grenzwert automatisch und vermeidet dadurch eine Division durch null.
Bezeichnungen
\(r\)gleichbleibende Rate je Periode
\(R_n\)Rentenendwert am Ende der Laufzeit
\(R_0\)Rentenbarwert zum Anfangszeitpunkt
\(i\)Zinssatz je Periode als Dezimalzahl
\(q\)Zinsfaktor mit \(q=1+i\)
\(n\)Anzahl der nachschüssigen Zahlungen
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet nachschüssige Rente?
Die Zahlung erfolgt jeweils am Ende der Periode. Die erste Rate wird also erst bei \(t=1\) gezahlt.
Wie wird der Rentenendwert berechnet?
\(R_n=r(q^n-1)/i\).
Wie wird der Rentenbarwert berechnet?
\(R_0=r(q^n-1)/(iq^n)\).
Wie unterscheiden sich nachschüssige und vorschüssige Renten?
Bei der nachschüssigen Rente erfolgt jede Zahlung eine Periode später. Endwert und Barwert sind deshalb jeweils um den Faktor \(q\) kleiner als bei der entsprechenden vorschüssigen Rente.
Wie wird der Zinssatz bestimmt?
Der Zinssatz wird numerisch bestimmt, beispielsweise mit dem Newton-Verfahren. Der Rechner zeigt die einzelnen Iterationen.
Was ist die ewige Rente?
Für eine unendliche Reihe gleichbleibender nachschüssiger Zahlungen mit positivem Zinssatz gilt \(R_0=r/i\).