Vorschüssige Zahlung
\[
t=0,1,\dots,n-1
\]
Die erste Rate wird sofort zum Zeitpunkt \(t=0\) gezahlt. Die letzte Rate erfolgt zu Beginn der letzten Periode bei \(t=n-1\).
Rate r
1.000,00 €
Rentenendwert Rₙ
13.206,79 €
Rentenbarwert R₀
8.107,82 €
Zinsfaktor q
1,05
4 Rentenrechnung
Zinsfaktor
\[
q=1+i
\]
Jede Rate wird bis zum Endzeitpunkt aufgezinst beziehungsweise zum Anfangszeitpunkt abgezinst.
4.1 Vorschüssige Renten
Rentenendwert
\[
R_n=rq\frac{q^n-1}{i}
\]
Rentenendwertfaktor
\[
REFV=\frac{q(q^n-1)}{i}
\]
Rentenbarwert
\[
R_0=rq\frac{q^n-1}{iq^n}
\]
Rentenbarwertfaktor
\[
RBFV=\frac{q(q^n-1)}{iq^n}
\]
Zinssatz aus der Endwertgleichung
Funktion
\[
f(i)=-R_n+r\frac{q^{n+1}-q}{i}
\]
Ableitung
\[
f'(i)=r\frac{i(n+1)q^n-q^{n+1}+1}{i^2}
\]
Zinssatz aus der Barwertgleichung
Funktion
\[
f(i)=-R_0+rq\frac{q^n-1}{iq^n}
\]
Ableitung
\[
f'(i)=-r\frac{q^n-ni-1}{i^2q^n}
\]
Laufzeit bei gegebenem Rentenendwert
\[
n=\frac{\ln\left(1+\frac{iR_n}{rq}\right)}{\ln q}
\]
Laufzeit bei gegebenem Rentenbarwert
\[
n=\frac{\ln\left(\frac{rq}{rq-iR_0}\right)}{\ln q}
\]
Direkter Rentenrechner
Eingabewerte
Ergebnisse
Rentenendwert Rₙ
13.206,79 €
\(\displaystyle R_n=1.000\cdot1{,}05\cdot\frac{1{,}05^{10}-1}{0{,}05}\)
Rentenbarwert R₀
Rentenendwertfaktor REFV
Rentenbarwertfaktor RBFV
Summe der Einzahlungen
Zinsanteil im Endwert
Zinsfaktor q
Zahlungszeitpunkte
Anzahl der Zahlungen
Vorschüssige Rente berechnet
Die erste Zahlung erfolgt sofort zum Zeitpunkt 0.
Rate, Zinssatz oder Laufzeit bestimmen
Bekannte Werte
Inverse Berechnung
Gesuchte Rate r
Verwendete Gleichung
Kontrollwert
Bereit
Wählen Sie die gesuchte Größe und die zugrunde liegende Gleichung.
Newton-Iterationen
| k | iₖ | f(iₖ) | f′(iₖ) | iₖ₊₁ |
|---|
Zahlungs- und Bewertungsplan
| Nr. | Zeitpunkt t | Rate r | Aufzinsungsfaktor | Beitrag zu Rₙ | Abzinsungsfaktor | Beitrag zu R₀ |
|---|
Entwicklung der vorschüssigen Rente
Rentenendwert nach k Zahlungen
Summe der Einzahlungen
Zinsanteil
Aktueller Schritt k
Anzahl Zahlungen k
Endwert nach k Zahlungen
Einzahlungen
Zinsanteil
Barwert der k Zahlungen
Zinsfaktor q
Vorschüssiger Effekt
Jede Rate wird eine Periode länger verzinst als bei einer ansonsten gleichen nachschüssigen Rente.
Vertiefung
Vorschüssige Zahlung
Bei einer vorschüssigen Rente erfolgt jede Rate zu Beginn der Periode. Deshalb enthält sowohl der Endwert- als auch der Barwertfaktor den zusätzlichen Faktor \(q\).
Rentenendwert
Der Rentenendwert fasst alle Zahlungen am Ende der Laufzeit zusammen. Frühere Zahlungen werden über mehr Perioden aufgezinst und tragen deshalb stärker zum Endwert bei.
Rentenbarwert
Der Rentenbarwert bewertet alle zukünftigen Zahlungen zum Zeitpunkt \(t=0\). Die sofortige erste Zahlung wird nicht abgezinst.
Berechnung des Zinssatzes
Der Zinssatz steht sowohl in der Basis \(q=1+i\) als auch im Nenner. Eine elementare Umstellung ist daher im Allgemeinen nicht möglich. Das Newton-Verfahren liefert eine numerische Lösung.
Korrigierte Ableitung der Barwertgleichung
Für die Barwertgleichung lautet die Ableitung \(f'(i)=-r(q^n-ni-1)/(i^2q^n)\). Die verkürzte Form \(q^n-nq\) wäre nicht allgemein korrekt.
Grenzfall ohne Zinsen
Für \(i=0\) gilt \(R_n=R_0=nr\). Der Rechner verwendet diesen Grenzwert automatisch und vermeidet dadurch eine Division durch null.
Bezeichnungen
\(r\)gleichbleibende Rate je Periode
\(R_n\)Rentenendwert am Ende der Laufzeit
\(R_0\)Rentenbarwert zum Anfangszeitpunkt
\(i\)Zinssatz je Periode als Dezimalzahl
\(q\)Zinsfaktor mit \(q=1+i\)
\(n\)Anzahl der vorschüssigen Zahlungen
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet vorschüssige Rente?
Die Zahlung erfolgt jeweils zu Beginn der Periode. Die erste Rate wird sofort bei \(t=0\) gezahlt.
Wie wird der Rentenendwert berechnet?
\(R_n=rq(q^n-1)/i\).
Wie wird der Rentenbarwert berechnet?
\(R_0=rq(q^n-1)/(iq^n)\).
Wie unterscheiden sich vorschüssige und nachschüssige Renten?
Bei der vorschüssigen Rente erfolgt jede Zahlung eine Periode früher. Endwert und Barwert sind deshalb jeweils um den Faktor \(q\) höher.
Wie wird der Zinssatz bestimmt?
Der Zinssatz wird numerisch bestimmt, beispielsweise mit dem Newton-Verfahren. Der Rechner zeigt die einzelnen Iterationen.
Was passiert bei einem Zinssatz von null?
Ohne Verzinsung entsprechen Endwert und Barwert der Summe der Zahlungen: \(R_n=R_0=nr\).