Allgemeiner Rentenbarwert
\[
R_0=\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t}
\]
Jede Zahlung \(r_t\) wird auf den Anfangszeitpunkt abgezinst und anschließend aufsummiert.
Anzahl Zahlungen n
5
Summe Zahlungen
7.000,00 €
Rentenbarwert R₀
5.930,66 €
Rentenendwert Rₙ
7.567,84 €
4 Rentenrechnung
Allgemeiner Rentenendwert
\[
R_n=q^n\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t}
\]
Alternativ lässt sich jede Zahlung direkt bis zum Endzeitpunkt aufzinsen. Beides liefert denselben Endwert.
4.3 Veränderliche nachschüssige Renten
Rentenendwert
\[
R_n=q^n\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t}
\]
Rentenbarwert
\[
R_0=\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t}
\]
Zinssatz Endwertgleichung
Wenn der Endwert vorgegeben ist und die Zahlungen \(r_t\) bekannt sind, kann der Zinssatz numerisch bestimmt werden.
Funktion
\[
f(i)=-R_n+q^n\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t}
\]
Ableitung
\[
f'(i)=q^{n-1}\sum_{t=1}^{n}(n-t)r_tq^{-t}
\]
Zinssatz Barwertgleichung
Wenn der Barwert vorgegeben ist und die Zahlungen \(r_t\) bekannt sind, ergibt sich der Zinssatz ebenfalls numerisch.
Funktion
\[
f(i)=-R_0+\sum_{t=1}^{n} r_t q^{-t}
\]
Ableitung
\[
f'(i)=-q^{-1}\sum_{t=1}^{n}tr_tq^{-t}
\]
Rentenbarwert bei arithmetisch fortschreitenden Renten mit endlicher Laufzeit
\[
R_0=r\frac{q^n-1}{iq^n}+\frac{d}{iq^n}\left(\frac{q^n-1}{i}-n\right)
\]
Rentenbarwert bei arithmetisch fortschreitenden Renten mit ewiger Laufzeit
\[
R_0=\left(r+\frac{d}{i}\right)\frac{1}{i}
\]
Rentenbarwert bei geometrisch fortschreitenden Renten mit ewiger Laufzeit
Barwertformel
\[
R_0=\frac{r}{i-w}
\]
Voraussetzung für einen endlichen Barwert
\[
0<w<i
\]
Rechner für allgemeine Zahlungsreihen
Eingabewerte
Zahlungsreihe mit Reglern erzeugen
Die Liste darunter wird automatisch aktualisiert.
Komma, Semikolon oder Zeilenumbruch als Trennzeichen möglich.
Ergebnisse
Rentenbarwert R₀
5.930,66 €
\(\displaystyle R_0=\sum_{t=1}^{n}r_tq^{-t}\)
Rentenendwert Rₙ
Anzahl Zahlungen n
Summe der Zahlungen
Durchschnittliche Zahlung
Ausgewählte Zahlung rₖ
Kumulierte Zahlungen bis k
Kumulierter Endwert bis k
Zinsfaktor q
Allgemeine Rentenfolge berechnet
Die Zahlungen werden am Ende jeder Periode geleistet.
Zinssatz numerisch bestimmen
Bekannte Werte
Inverse Berechnung
Gesuchter Zinssatz i
Verwendete Gleichung
Kontrollwert
Bereit
Wählen Sie Zielwert und Zahlungsreihe.
Newton-Iterationen
| k | iₖ | f(iₖ) | f′(iₖ) | iₖ₊₁ |
|---|
Spezialfälle
Spezialfall
\[
R_0=r\frac{q^n-1}{iq^n}+\frac{d}{iq^n}\left(\frac{q^n-1}{i}-n\right)
\]
Rentenbarwert R₀
9.478,21 €
Spezialfall berechnet
Erste Zahlung
Letzte sichtbare Zahlung
Beispielreihe
Bedingung
Spezialfall aktiv
Arithmetisch fortschreitende Rente mit endlicher Laufzeit.
Zahlungs- und Bewertungsplan
| t | Zahlung rₜ | Abzinsung q⁻ᵗ | Beitrag zu R₀ | Aufzinsung qⁿ⁻ᵗ | Beitrag zu Rₙ |
|---|
Verlauf der Zahlungsreihe
Kumulierter Endwert bis k
Kumulierte Zahlungen
Kumulierter Barwert bis k
Ausgewählter Schritt k
Schritt k
Zahlung rₖ
Kumulierte Zahlungen
Kumulierter Barwert
Kumulierter Endwert
Zinsfaktor q
Interpretation
Die kumulierten Zahlungen steigen nominal. Der Barwert berücksichtigt die Abzinsung, der Endwert die Aufzinsung bis zum Endzeitpunkt.
Vertiefung
Allgemeine veränderliche Rente
Im Gegensatz zur gleichbleibenden Rente dürfen die Zahlungen \(r_t\) von Periode zu Periode variieren. Der Barwert und der Endwert ergeben sich dann aus Summen über die einzelnen Zahlungen.
Numerische Zinssatzsuche
Bei vorgegebener Zahlungsreihe und bekanntem Barwert oder Endwert lässt sich der Zinssatz im Regelfall nicht direkt umstellen. Deshalb wird das Newton-Verfahren verwendet.
Arithmetisch fortschreitende Renten
Hier verändert sich jede Zahlung um den konstanten Betrag \(d\). Typisch sind lineare Steigerungen oder lineare Abschläge von Periode zu Periode.
Geometrisch fortschreitende Renten
Hier wachsen die Zahlungen prozentual mit der Rate \(w\). Für ewige Renten ist dabei die Bedingung \(0<w<i\) entscheidend, damit ein endlicher Barwert existiert.
Abzinsung und Aufzinsung
Die Formel für den Barwert diskontiert jede Zahlung auf \(t=0\). Die Formel für den Endwert verzinst jede Zahlung bis \(t=n\). Beide Perspektiven sind äquivalent.
Grenzfälle
Bei einem Zinssatz von null fällt die Abzinsung beziehungsweise Aufzinsung weg. Dann sind Barwert und Endwert identisch mit der Summe der Zahlungen.
Bezeichnungen
\(r_t\)Zahlung am Ende der Periode t
\(R_0\)Rentenbarwert zum Anfangszeitpunkt
\(R_n\)Rentenendwert am Endzeitpunkt
\(i\)Zinssatz je Periode als Dezimalzahl
\(q\)Zinsfaktor mit \(q=1+i\)
\(d,w\)lineare beziehungsweise prozentuale Veränderung der Zahlungen
Häufig gestellte Fragen
Was ist eine veränderliche nachschüssige Rente?
Die Zahlungen sind nicht konstant, sondern verändern sich über die Zeit. Nachschüssig bedeutet, dass jede Zahlung am Ende der jeweiligen Periode geleistet wird.
Wie wird der Rentenbarwert berechnet?
\(R_0=\sum_{t=1}^{n}r_tq^{-t}\).
Wie wird der Rentenendwert berechnet?
\(R_n=q^n\sum_{t=1}^{n}r_tq^{-t}\).
Wann braucht man das Newton-Verfahren?
Wenn der Zinssatz bei gegebener Zahlungsreihe und bekanntem Barwert oder Endwert gesucht wird.
Wann ist der Barwert einer geometrisch fortschreitenden ewigen Rente definiert?
Nur wenn die Wachstumsrate kleiner als der Zinssatz ist, also \(0<w<i\).
Was ist der Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Fortschreitung?
Bei der arithmetischen Fortschreitung ändert sich die Zahlung um einen festen Betrag \(d\). Bei der geometrischen Fortschreitung wächst sie prozentual mit \(w\).