Grundzusammenhang
\[
A_t=Z_t+T_t
\]
Die Zahlung \(A_t\) einer Periode setzt sich aus dem Zinsbetrag \(Z_t\) und der Tilgung \(T_t\) zusammen.
Anfangskapital K₀
100.000,00 €
Tilgungsrate T
10.000,00 €
Erste Annuität A₁
15.000,00 €
Gesamtzinsen
27.500,00 €
3 Tilgungsrechnung
Restschuld und Zins
\[
K_t=K_{t-1}-T_t
\qquad
Z_t=iK_{t-1}
\]
Die Tilgung vermindert die Restschuld. Der Zins wird auf die Restschuld zu Beginn der jeweiligen Periode berechnet.
3.1 Ratentilgung
Konstante Tilgungsrate
\[
T_1=T_2=\dots=T_n=T
\qquad
T=\frac{K_0}{n}
\]
Restschuld nach t Perioden
\[
K_t=K_0\left(1-\frac{t}{n}\right)
\]
Zinsbetrag der Periode t
\[
Z_t=i\left(1-\frac{t-1}{n}\right)K_0
\]
Annuität der Periode t
\[
A_t=\left(i\left(1-\frac{t-1}{n}\right)+\frac{1}{n}\right)K_0
\]
Barwert und gesamte Tilgung
\[
K_0=\sum_{t=1}^n A_t(1+i)^{-t}
\qquad\text{und}\qquad
K_0=\sum_{t=1}^n T_t
\]
Interaktiver Tilgungsrechner
Eingabewerte
Ergebnis für Periode 1
Annuität der ausgewählten Periode
15.000,00 €
\(\displaystyle A_1=10.000+0{,}05\cdot100.000\)
Konstante Tilgungsrate T
Restschuld vor Zahlung Kₜ₋₁
Zinsbetrag Zₜ
Restschuld nach Zahlung Kₜ
Gesamtzinsen
Gesamte Zahlungen
Erste Annuität A₁
Letzte Annuität Aₙ
Ratentilgung berechnet
Die Tilgungsrate ist konstant. Zinsbetrag und Annuität sinken in jeder Periode.
Vollständiger Tilgungsplan
| t | Restschuld Beginn | Zinsbetrag Zₜ | Tilgung T | Annuität Aₜ | Restschuld Ende |
|---|
Verlauf von Restschuld, Zinsen und Annuität
Restschuld \(K_t\)
Zinsbetrag \(Z_t\)
Annuität \(A_t\)
Ausgewählte Periode
Periode t
Restschuld Beginn
Zinsbetrag
Annuität
Restschuld Ende
Tilgungsrate
Typischer Verlauf
Die Restschuld sinkt linear. Dadurch sinken Zinsbetrag und Annuität ebenfalls linear, während die Tilgungsrate konstant bleibt.
Vertiefung
Konstante Tilgungsrate
Bei der Ratentilgung wird in jeder Periode derselbe absolute Kapitalbetrag zurückgezahlt. Die Tilgungsrate ergibt sich aus \(T=K_0/n\).
Linear sinkende Restschuld
Weil die Tilgung konstant ist, vermindert sich die Restschuld in jeder Periode um denselben Betrag. Die Funktion \(K_t=K_0(1-t/n)\) ist linear.
Sinkender Zinsbetrag
Der Zins wird auf die Restschuld zu Beginn der Periode berechnet. Da diese Restschuld kontinuierlich sinkt, fällt auch der Zinsbetrag von Periode zu Periode.
Fallende Annuität
Die Annuität ist bei der Ratentilgung nicht konstant. Sie besteht aus gleichbleibender Tilgung und sinkendem Zinsbetrag und nimmt daher regelmäßig ab.
Gesamtzinsbelastung
Die Summe aller Zinsbeträge lautet bei konstantem Periodenzins \(\sum Z_t=iK_0(n+1)/2\). Längere Laufzeiten erhöhen deshalb die gesamte Zinsbelastung.
Abgrenzung zum Annuitätendarlehen
Beim Annuitätendarlehen bleibt die Gesamtzahlung konstant und der Tilgungsanteil steigt. Bei der Ratentilgung bleibt dagegen der Tilgungsbetrag konstant und die Gesamtzahlung sinkt.
Bezeichnungen
\(K_0\)Anfangskapital beziehungsweise ursprünglicher Darlehensbetrag
\(K_t\)Restschuld nach der Zahlung in Periode t
\(T_t\)Tilgungsbetrag der Periode t
\(Z_t\)Zinsbetrag der Periode t
\(A_t\)Gesamtzahlung beziehungsweise Annuität der Periode t
\(i\)Zinssatz je Tilgungsperiode als Dezimalzahl
Häufig gestellte Fragen
Wie wird die Tilgungsrate berechnet?
\(T=K_0/n\). Das Anfangskapital wird gleichmäßig auf alle Tilgungsperioden verteilt.
Wie wird die Restschuld nach t Perioden berechnet?
\(K_t=K_0(1-t/n)\).
Wie wird der Zinsbetrag einer Periode berechnet?
\(Z_t=iK_{t-1}\). Der Zins wird auf die Restschuld zu Beginn der Periode berechnet.
Warum sinkt die Annuität?
Die Tilgung bleibt konstant, während die Restschuld und damit der Zinsbetrag sinken. Deshalb nimmt die Summe aus Zins und Tilgung ab.
Wie hoch sind die gesamten Zinsen?
Bei konstantem Zinssatz je Periode gilt \(\sum_{t=1}^n Z_t=iK_0(n+1)/2\).
Ist die Ratentilgung dasselbe wie ein Annuitätendarlehen?
Nein. Bei der Ratentilgung bleibt die Tilgung konstant und die Zahlung sinkt. Beim Annuitätendarlehen bleibt die Zahlung konstant.