Konstante Annuität
\[
A_1=A_2=\dots=A_n=A
\]
Die Gesamtzahlung bleibt in allen Perioden konstant. Sie setzt sich jeweils aus Zinsbetrag und Tilgungsrate zusammen.
Anfangskapital K₀
100.000,00 €
Konstante Annuität A
12.950,46 €
Erste Tilgung T₁
7.950,46 €
Gesamtzinsen
29.504,57 €
Grundidee der Annuitätentilgung
Zins und Tilgung
\[
A=Z_t+T_t
\qquad
Z_t=iK_{t-1}
\]
Mit sinkender Restschuld fällt der Zinsbetrag. Weil die Annuität konstant bleibt, steigt die Tilgungsrate entsprechend an.
3.2 Annuitätentilgung
Konstante Annuität
\[
A=\frac{i q^n}{q^n-1}K_0
\qquad\text{mit}\qquad q=1+i
\]
Restschuld nach t Perioden
\[
K_t=\frac{q^n-q^t}{q^n-1}K_0
\]
Zinsbetrag der Periode t
\[
Z_t=\frac{i\left(q^n-q^{t-1}\right)}{q^n-1}K_0
\]
Tilgungsrate der Periode t
\[
T_t=\frac{i q^{t-1}}{q^n-1}K_0
\]
Barwert der Annuitäten
\[
K_0=\sum_{t=1}^{n}A(1+i)^{-t}
\]
Interaktiver Annuitätenrechner
Eingabewerte
Ergebnis für Periode 1
Konstante Annuität
12.950,46 €
\(\displaystyle A=K_0\frac{i q^n}{q^n-1}\)
Zinsfaktor q
Restschuld vor Zahlung Kₜ₋₁
Zinsbetrag Zₜ
Tilgungsrate Tₜ
Restschuld nach Zahlung Kₜ
Gesamtzinsen
Gesamte Zahlungen
Tilgungsanteil der Annuität
Annuitätentilgung berechnet
Die Annuität bleibt konstant. Der Zinsanteil sinkt, während der Tilgungsanteil steigt.
Vollständiger Tilgungsplan
| t | Restschuld Beginn | Zinsbetrag Zₜ | Tilgung Tₜ | Annuität A | Restschuld Ende |
|---|
Verlauf von Restschuld, Zins und Tilgung
Restschuld \(K_t\)
Zinsbetrag \(Z_t\)
Tilgungsrate \(T_t\)
Annuität \(A\)
Ausgewählte Periode
Periode t
Restschuld Beginn
Zinsbetrag
Tilgungsrate
Annuität
Restschuld Ende
Typischer Verlauf
Die Annuität bleibt konstant. Der Zinsbetrag sinkt mit der Restschuld, der Tilgungsbetrag steigt spiegelbildlich an.
Vertiefung
Konstante Gesamtzahlung
Bei der Annuitätentilgung bleibt die Zahlung \(A\) in allen Perioden gleich. Das erleichtert die Liquiditätsplanung und ist der zentrale Unterschied zur Ratentilgung.
Sinkender Zinsanteil
Der Zinsbetrag wird auf die Restschuld zu Beginn der Periode berechnet. Da die Restschuld abnimmt, sinkt auch der Zinsanteil innerhalb der konstanten Annuität.
Steigender Tilgungsanteil
Weil \(A=Z_t+T_t\) gilt und \(A\) konstant bleibt, muss der Tilgungsanteil genau in dem Umfang steigen, in dem der Zinsanteil sinkt.
Restschuldverlauf
Die Restschuld nimmt nicht linear ab. Zu Beginn ist die Tilgung relativ gering, später steigt sie zunehmend an. Der Schuldenabbau beschleunigt sich deshalb im Zeitverlauf.
Zinsfaktor q
Mit \(q=1+i\) lassen sich Annuität, Restschuld, Zinsbetrag und Tilgungsrate kompakt darstellen. Der Zinssatz wird in den Formeln als Dezimalzahl verwendet.
Abgrenzung zur Ratentilgung
Bei der Ratentilgung bleibt der Tilgungsbetrag konstant und die Zahlung sinkt. Bei der Annuitätentilgung bleibt die Zahlung konstant und der Tilgungsbetrag steigt.
Bezeichnungen
\(K_0\)Anfangskapital beziehungsweise ursprünglicher Darlehensbetrag
\(K_t\)Restschuld nach der Zahlung in Periode t
\(A\)Konstante Gesamtzahlung aus Zins und Tilgung
\(Z_t\)Zinsbetrag der Periode t
\(T_t\)Tilgungsrate der Periode t
\(q\)Zinsfaktor mit \(q=1+i\)
Häufig gestellte Fragen
Wie wird die Annuität berechnet?
\(A=\frac{i q^n}{q^n-1}K_0\) mit \(q=1+i\).
Wie wird die Restschuld nach t Perioden berechnet?
\(K_t=\frac{q^n-q^t}{q^n-1}K_0\).
Wie wird der Zinsbetrag einer Periode berechnet?
\(Z_t=iK_{t-1}\). Der Zins wird auf die Restschuld zu Beginn der Periode berechnet.
Warum steigt die Tilgungsrate?
Die Annuität bleibt konstant, während der Zinsbetrag sinkt. Daher wächst der verbleibende Tilgungsanteil von Periode zu Periode.
Wie hoch sind die gesamten Zinsen?
Die Gesamtzinsen ergeben sich aus \(nA-K_0\).
Was passiert bei einem Zinssatz von null Prozent?
Dann gilt \(A=K_0/n\). Jede Zahlung besteht vollständig aus Tilgung und die Restschuld sinkt linear.