Aufzinsungsfaktor
\[
q^n
\]
Grundfaktoren der Investitionsrechnung
Abzinsungsfaktor
\[
\frac{1}{q^n}
\]
Rentenbarwertfaktor
\[
\frac{q^n-1}{q^ni}
\]
Wiedergewinnungsfaktor
\[
\frac{q^ni}{q^n-1}
\]
Aufzinsungsfaktor
Abzinsungsfaktor
Rentenbarwertfaktor
Wiedergewinnungsfaktor
Interaktiver Faktorenrechner
Dieser Block ist jetzt eigenständig interaktiv. Die Faktoren reagieren sofort auf Zinssatz, Laufzeit und Betrag.
Ergebnisse des Faktorenrechners
Endwert eines Einmalbetrags
Barwert eines Endwerts
Rentenbarwert bei Rate = Ausgangsbetrag
Annuität aus Barwert = Ausgangsbetrag
-
5.1 Kapitalwert
Kapitalwertgleichung
\[
C_0=-I_0+\sum_{t=1}^{n}\frac{Z_t}{(1+i)^t}+\frac{L_n}{(1+i)^n}
\]
5.2 Interner Zinssatz
Kapitalwertgleichung des internen Zinssatzes
Der interne Zinssatz ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert der Investition null wird.
Gleichung
\[
0=-I_0+\sum_{t=1}^{n}\frac{E_t-A_t}{(1+i)^t}+\frac{L_n}{(1+i)^n}
\]
Zweiter Strahlensatz
\[
r=r_1-C_{01}\frac{r_2-r_1}{C_{02}-C_{01}}
\]
5.3 Annuität
Annuität aus dem Kapitalwert
\[
A=\left(-I_0+\sum_{t=1}^{n}\frac{E_t-A_t}{(1+i)^t}+\frac{L_n}{(1+i)^n}\right)\frac{(1+i)^ni}{(1+i)^n-1}
\]
5.4 Vermögenswert
Positives Vermögenskonto am Ende des Planungszeitraums
\[
C_n^+=\sum_{t=1}^{n}E_t(1+i)^{n-t}
\]
Negatives Vermögenskonto am Ende des Planungszeitraums
\[
C_n^-=I_0(1+k)^n+\sum_{t=1}^{n}A_t(1+k)^{n-t}
=\sum_{t=0}^{n}A_t(1+k)^{n-t}
\]
Vermögensendwert
\[
C_n=C_n^+-C_n^-=
\sum_{t=1}^{n}E_t(1+i)^{n-t}
-\sum_{t=0}^{n}A_t(1+k)^{n-t}
\]
Gespaltener Soll- und Habenzins
Der anzuwendende Zinssatz richtet sich nach dem Kontostand am Ende der Vorperiode.
Kontofortschreibung
\[
c_t=(E_t-A_t)+c_{t-1}(1+z)
\]
Negativer Kontostand
\[
z=k
\]
\(c_{t-1}<0\): Finanzierung zum Sollzinssatz
Positiver Kontostand
\[
z=i
\]
\(c_{t-1}>0\): Verzinsung zum Habenzinssatz
Interaktiver Investitionsrechner
Investitionsdaten
Zahlungsreihen erzeugen
Investitionsergebnis
Kapitalwert C₀
\(\displaystyle C_0=-I_0+\sum Z_tq^{-t}+L_nq^{-n}\)
Interner Zinssatz
Annuität
Positives Vermögenskonto Cₙ⁺
Negatives Vermögenskonto Cₙ⁻
Vermögensendwert Cₙ
Gespaltener Kontostand cₙ
Summe Nettozahlungen
Liquidationserlös
Investition berechnet
Die Entscheidung wird am Kapitalwert und an den verwendeten Zinssätzen beurteilt.
Interner Zinssatz und zweiter Strahlensatz
Interpolationszinssätze
Vergleich
Kapitalwert C₀₁ bei r₁
Kapitalwert C₀₂ bei r₂
Interpolierter Zinssatz
Newton-Ergebnis
Prüfung
Für eine sinnvolle Interpolation sollten die beiden Kapitalwerte unterschiedliche Vorzeichen besitzen.
Newton-Iterationen
| k | iₖ | C₀(iₖ) | C₀′(iₖ) | iₖ₊₁ |
|---|
Zahlungs- und Bewertungsplan
| t | Eₜ | Aₜ | Zₜ | Barwert Zₜ | cₜ gespalten |
|---|
Zahlungs- und Vermögensverlauf
Interaktive Linienauswahl
Dieser Bereich ist jetzt wirklich interaktiv. Sie können Linien ein- und ausblenden, die Periode per Regler wählen und direkt im Diagramm klicken.
Periode im Diagramm steuern
Klick auf einen Datenpunkt oder in den Periodenbereich setzt die Periode automatisch.
Einzahlungen Eₜ
Auszahlungen Aₜ
Nettozahlungen Zₜ
Kontostand cₜ
Ausgewählte Periode
Periode t
Einzahlung Eₜ
Auszahlung Aₜ
Nettozahlung Zₜ
Barwert der Nettozahlung
Gespaltener Kontostand cₜ
Interpretation
Negative Kontostände werden mit dem Sollzinssatz \(k\), positive Kontostände mit dem Habenzinssatz \(i\) verzinst.
Vertiefung
Kapitalwertmethode
Ein positiver Kapitalwert bedeutet, dass die Investition den Kalkulationszinssatz verdient und darüber hinaus einen zusätzlichen Wertbeitrag erzeugt.
Interner Zinssatz
Der interne Zinssatz ist die Rendite, bei der der Kapitalwert null wird. Bei Zahlungsreihen mit mehreren Vorzeichenwechseln können mehrere interne Zinssätze auftreten.
Annuitätenmethode
Die Annuität verteilt den Kapitalwert mithilfe des Wiedergewinnungsfaktors auf gleich hohe periodische Erfolgsbeiträge.
Vermögensendwertmethode
Die Vermögensendwertmethode bewertet positive und negative Zahlungsbestandteile am Ende des Planungszeitraums. Bei gespaltenen Zinssätzen werden Überschüsse und Defizite unterschiedlich verzinst.
Liquidationserlös
Der Liquidationserlös wird als zusätzlicher Rückfluss in der letzten Periode berücksichtigt. Im Kapitalwert wird er abgezinst, im Vermögensendwert unmittelbar zum Endzeitpunkt addiert.
Entscheidungsregel
Eine Investition ist nach der Kapitalwertmethode vorteilhaft, wenn \(C_0>0\). Bei mehreren Alternativen ist unter gleichen Rahmenbedingungen die Alternative mit dem höchsten Kapitalwert vorzuziehen.
Bezeichnungen
\(I_0\)Anfangsinvestition zum Zeitpunkt 0
\(E_t,A_t\)Einzahlungen und Auszahlungen in Periode t
\(Z_t\)Nettozahlung mit \(Z_t=E_t-A_t\)
\(L_n\)Liquidations- oder Restwert am Ende der Laufzeit
\(i,k\)Kalkulations- beziehungsweise Sollzinssatz
\(C_0,C_n\)Kapitalwert und Vermögensendwert
Häufig gestellte Fragen
Wann ist eine Investition nach der Kapitalwertmethode vorteilhaft?
Wenn der Kapitalwert \(C_0\) größer als null ist.
Was bedeutet der interne Zinssatz?
Er ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert der Investition null wird.
Wie wird die Annuität berechnet?
Der Kapitalwert wird mit dem Wiedergewinnungsfaktor multipliziert.
Warum werden Soll- und Habenzins getrennt?
Negative Kontostände verursachen häufig höhere Finanzierungskosten als positive Guthaben Erträge erwirtschaften.
Wie wird der Liquidationserlös berücksichtigt?
Er wird im Kapitalwert auf den Zeitpunkt null abgezinst und beim Vermögensendwert am Ende des Planungszeitraums addiert.
Kann es mehrere interne Zinssätze geben?
Ja. Bei nicht normalen Zahlungsreihen mit mehreren Vorzeichenwechseln können mehrere mathematische Lösungen auftreten.