Lineare Funktion
Die Steigung m bestimmt die Richtung und Steilheit der Geraden. Der Wert b ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.
\[f(x)=mx+b\]
\[f(0)=b\]
Steigung m
0
y-Achsenabschnitt b
0
Nullstelle x₀
0
Steigungswinkel α
0°
Grundlagen
Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert, an dem die Gerade die x-Achse schneidet.
\[0=mx_0+b\]
\[x_0=-\frac{b}{m}\qquad (m\neq 0)\]
Steigung aus zwei Punkten
Die Steigung ist der Quotient aus Höhenänderung und waagerechter Änderung.
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\qquad (x_2\neq x_1)\]
Punktsteigungsform
Mit einer bekannten Steigung und einem Punkt kann die Gerade direkt angegeben werden.
\[y-y_1=m(x-x_1)\]
\[b=y_1-mx_1\]
Geradenrechner
Parameter
Ergebnisse
Funktionsgleichung
\(\displaystyle f(x)=1{,}5x-3\)
\(\displaystyle f(4)=3\)
Funktionswert f(x)
Nullstelle x₀
y-Achsenabschnitt
Steigungswinkel α
Monotonie
Schnittpunkt mit y-Achse
Gültige Eingabe
Die Gerade ist vollständig bestimmt.
Gerade durch zwei Punkte
Punktkoordinaten
Berechnung aus P₁ und P₂
Zweipunkteform
\(\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Steigung m
Achsenabschnitt b
Geradengleichung
Abstand der Punkte
Bereit
Die beiden Punkte bestimmen eine Gerade, sofern x₁ ≠ x₂.
Funktionsgraph
f(x)=mx+b
parallele Gerade
senkrechte Gerade
Zusatzgeraden
Parallele Gerade
Senkrechte Gerade
Steigungsprodukt
Steigungsdreieck
Interaktion
Ziehen Sie P₁ oder P₂. Die Geradengleichung wird aus den neuen Punktkoordinaten berechnet.
Wertetabelle
| x | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) |
Formelsammlung
Funktionsgleichung
\[f(x)=mx+b\]
m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt.
Nullstelle
\[x_0=-\frac{b}{m}\]
Gilt für m ≠ 0.
Steigung aus zwei Punkten
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Gilt für x₂ ≠ x₁.
Punktsteigungsform
\[y-y_1=m(x-x_1)\]
Gerade mit Steigung m durch P₁.
Achsenabschnitt aus einem Punkt
\[b=y_1-mx_1\]
Einsetzen eines bekannten Punkts.
Steigungswinkel
\[\alpha=\arctan(m)\]
Winkel zur positiven x-Achse.
Parallele Geraden
\[m_1=m_2\]
Bei unterschiedlichen Achsenabschnitten.
Senkrechte Geraden
\[m_1m_2=-1\]
Für nichtvertikale Geraden.
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Vertiefung
Steigung
Die Steigung m beschreibt, um wie viele Einheiten sich y verändert, wenn x um eine Einheit wächst. Ein positives m bedeutet eine steigende, ein negatives m eine fallende Gerade.
y-Achsenabschnitt
Der Parameter b ist der Funktionswert bei x=0. Er verschiebt die Gerade parallel nach oben oder unten, ohne ihre Steigung zu verändern.
Nullstelle
Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse. Bei m=0 existiert entweder keine Nullstelle oder unendlich viele Nullstellen, wenn zugleich b=0 gilt.
Vertikale Geraden
Eine vertikale Gerade besitzt die Form x=c. Sie ist keine Funktion y=f(x), weil einem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet wären. Die gewöhnliche Steigungsformel ist dann nicht definiert.
Parallele und senkrechte Geraden
Parallele Geraden besitzen dieselbe Steigung. Bei senkrechten, nichtvertikalen Geraden sind die Steigungen negative Kehrwerte und ihr Produkt ist −1.
Anwendungen
Lineare Funktionen modellieren konstante Änderungsraten, etwa gleichmäßige Kostensteigerungen, proportionale Verbrauchswerte, Weg-Zeit-Beziehungen oder lineare Abschreibungen.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion?
Die allgemeine Form lautet f(x)=mx+b. Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt.
Wie berechnet man die Nullstelle?
Für m ≠ 0 gilt x₀=−b/m.
Wie berechnet man die Steigung aus zwei Punkten?
m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁), sofern x₂≠x₁.
Was bedeutet b?
b ist der Funktionswert bei x=0 und damit der y-Achsenabschnitt.
Wann ist eine Gerade steigend?
Eine Gerade ist für m>0 steigend und für m<0 fallend.
Wann sind zwei Geraden parallel?
Sie sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind.
Wann stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander?
Für nichtvertikale Geraden gilt m₁·m₂=−1.