Quadratische Funktion
Der Leitkoeffizient a bestimmt Öffnungsrichtung und Breite der Parabel.
\[f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0\]
\[f'(x)=2ax+b\]
Scheitelpunkt xₛ
0
Extremwert yₛ
0
Diskriminante Δ
0
Reelle Nullstellen
0
Grundlagen
Extremstelle
Am Scheitelpunkt verschwindet die erste Ableitung.
\[f'(x)=0\]
\[x_S=-\frac{b}{2a}\]
Extremwert
Der Funktionswert am Scheitelpunkt lässt sich durch Einsetzen oder direkt berechnen.
\[y_S=f(x_S)=c-\frac{b^2}{4a}\]
Minimum oder Maximum
Die zweite Ableitung ist konstant und entscheidet über die Art des Extremums.
\[f''(x)=2a\]
\[a>0:\ \text{Minimum},\qquad a<0:\ \text{Maximum}\]
Parabelrechner
Parameter
Ergebnisse
Funktionsgleichung
\(\displaystyle f(x)=x^2-4x+3\)
\(\displaystyle f'(x)=2x-4\)
Funktionswert f(x)
Scheitelpunkt S
Extremum
Diskriminante Δ
Nullstellen
Symmetrieachse
Gültige Eingabe
Die quadratische Funktion ist vollständig bestimmt.
Funktionsgraph
f(x)
f'(x)
Symmetrieachse
Darstellungsoptionen
Scheitelpunktform
Faktorform
Öffnung
Breite gegenüber y=x²
Interaktion
Ziehen Sie den Scheitelpunkt. Dabei bleiben Form und Öffnung der Parabel unverändert; b und c werden passend neu berechnet.
Wertetabelle
| x | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) |
Formelsammlung
Allgemeine Form
\[f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0\]
a bestimmt Öffnung und Breite, c ist der y-Achsenabschnitt.
Erste Ableitung
\[f'(x)=2ax+b\]
Die Nullstelle von f' liefert die Extremstelle.
Extremstelle
\[x_S=-\frac{b}{2a}\]
Gleichzeitig Symmetrieachse der Parabel.
Extremwert
\[y_S=c-\frac{b^2}{4a}\]
Bei a>0 Minimum, bei a<0 Maximum.
Scheitelpunktform
\[f(x)=a(x-x_S)^2+y_S\]
Zeigt Scheitelpunkt und Öffnung unmittelbar.
Diskriminante
\[\Delta=b^2-4ac\]
Δ>0: zwei, Δ=0: eine doppelte, Δ<0: keine reelle Nullstelle.
Mitternachtsformel
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Berechnet die Nullstellen der quadratischen Funktion.
Faktorform
\[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\]
Gilt bei zwei reellen Nullstellen.
Interaktive Übung
Aufgabe
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Richtige Antworten
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Bearbeitete Aufgaben
0
Vertiefung
Leitkoeffizient a
Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnungsrichtung. Für a>0 öffnet sich die Parabel nach oben, für a<0 nach unten. Der Betrag |a| bestimmt die Breite.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel. Seine x-Koordinate ist zugleich die Symmetrieachse der Funktion.
Diskriminante
Die Diskriminante entscheidet über die Zahl reeller Nullstellen. Ein positiver Wert liefert zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, null einen Berührpunkt und ein negativer Wert keinen reellen Schnittpunkt.
Scheitelpunktform
Die Form f(x)=a(x-xS)²+yS macht Verschiebung, Streckung und Spiegelung der Normalparabel unmittelbar sichtbar.
Ableitung
Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist linear. Am Scheitelpunkt ist die Tangente waagerecht, weshalb dort f'(x)=0 gilt.
Anwendungen
Quadratische Funktionen modellieren beispielsweise Wurfparabeln, Gewinnfunktionen, Flächenoptimierungen, Bremswege und zahlreiche technische oder wirtschaftliche Extremwertprobleme.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die allgemeine Form einer quadratischen Funktion?
Sie lautet f(x)=ax²+bx+c mit a≠0.
Wie berechnet man die Extremstelle?
Die Extremstelle liegt bei xS=−b/(2a).
Wie berechnet man den Extremwert?
Durch Einsetzen von xS oder direkt mit yS=c−b²/(4a).
Wann hat die Parabel ein Minimum?
Bei a>0 ist die Parabel nach oben geöffnet und besitzt ein Minimum.
Wann hat die Parabel ein Maximum?
Bei a<0 ist die Parabel nach unten geöffnet und besitzt ein Maximum.
Wie viele Nullstellen besitzt eine quadratische Funktion?
Das entscheidet die Diskriminante Δ=b²−4ac: zwei bei Δ>0, eine doppelte bei Δ=0 und keine reelle bei Δ<0.
Was ist die Symmetrieachse?
Die Symmetrieachse ist die Gerade x=xS=−b/(2a).