Normalform
Die pq-Formel setzt voraus, dass der Koeffizient vor \(x^2\) gleich 1 ist.
\[x^2+px+q=0\]
Halber p-Wert
0
Radikand
0
Nullstelle x₁
0
Nullstelle x₂
0
Grundlagen
pq-Formel
Die beiden möglichen Lösungen werden durch Plus und Minus unterschieden.
\[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]
Radikand
Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet über die Zahl reeller Lösungen.
\[R=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\]
Lösungsfälle
\[
\begin{aligned}
R>0&:\ \text{zwei reelle Lösungen}\\
R=0&:\ \text{eine doppelte Lösung}\\
R<0&:\ \text{keine reelle Lösung}
\end{aligned}
\]
pq-Rechner
Koeffizienten
Ergebnis
Lösungsformel
\(\displaystyle x_{1,2}=3\pm1\)
\(\displaystyle x^2-6x+8=0\)
\(-p/2\)
Radikand \(R\)
\(\sqrt{R}\)
Lösung x₁
Lösung x₂
Scheitelpunkt
Zwei reelle Lösungen
Der Radikand ist positiv.
Rechnung Schritt für Schritt
Schritt 1 von 5
Normalform erkennen
Probe der Lösungen
| Lösung | \(x^2\) | \(px\) | \(q\) | Summe |
|---|
Probe
Die berechneten reellen Lösungen erfüllen die Gleichung.
Funktionsgraph
\(y=x^2+px+q\)
Symmetrieachse
reelle Nullstellen
Geometrische Einordnung
Symmetrieachse
Scheitelwert
y-Achsenabschnitt
Schnittpunkte mit x-Achse
Interpretation
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts und die Mitte zwischen den Nullstellen liegen beide bei \(-p/2\).
Formelsammlung
Normalform
\[x^2+px+q=0\]
Voraussetzung für die direkte Anwendung der pq-Formel.
pq-Formel
\[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]
Berechnet die Lösungen der Normalform.
Radikand
\[R=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\]
Entscheidet über die Zahl reeller Lösungen.
Scheitelpunkt
\[S\left(-\frac{p}{2}\,\middle|\,q-\frac{p^2}{4}\right)\]
Die x-Koordinate stimmt mit der Mitte der Lösungen überein.
Summe der Lösungen
\[x_1+x_2=-p\]
Satz von Vieta.
Produkt der Lösungen
\[x_1x_2=q\]
Satz von Vieta.
Interaktive Übung
Aufgabe
Wählen Sie eine Antwort.
Richtige Antworten
0
Bearbeitete Aufgaben
0
Vertiefung
Normalform herstellen
Liegt eine Gleichung in der Form ax²+bx+c=0 vor, wird zunächst durch a geteilt. Danach gilt p=b/a und q=c/a.
Bedeutung des Radikanden
Der Radikand entspricht einem Viertel der üblichen Diskriminante der Normalform. Sein Vorzeichen entscheidet über zwei, eine oder keine reelle Lösung.
Zusammenhang mit dem Scheitelpunkt
Die Symmetrieachse der Parabel liegt bei x=-p/2. Ist der Scheitelwert negativ, schneidet die nach oben geöffnete Normalparabel die x-Achse zweimal.
Satz von Vieta
Bei zwei Lösungen gilt x1+x2=-p und x1·x2=q. Diese Beziehungen eignen sich zur Kontrolle und teilweise auch zum schnellen Lösen einfacher Gleichungen.
Typische Fehler
Häufig werden das Minus vor p/2, die Klammer beim Quadrieren oder das Minus vor q vergessen. Der vollständige Radikand lautet immer (p/2)²-q.
Keine reelle Lösung
Ist der Radikand negativ, existieren keine reellen Lösungen. Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich dennoch zwei Lösungen angeben.
Häufig gestellte Fragen
Wann darf die pq-Formel angewendet werden?
Direkt nur bei Gleichungen der Form x²+px+q=0.
Wie lautet die pq-Formel?
\(x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{(\frac p2)^2-q}\).
Was bedeutet der Ausdruck unter der Wurzel?
Er entscheidet über die Zahl reeller Lösungen: positiv zwei, null eine doppelte, negativ keine reelle Lösung.
Was mache ich bei ax²+bx+c=0?
Zuerst durch a teilen. Dann ist p=b/a und q=c/a.
Wie kann ich die Lösungen prüfen?
Jede berechnete Lösung wird in x²+px+q eingesetzt. Das Ergebnis muss null sein.
Wie hängt die pq-Formel mit Vieta zusammen?
Für die Lösungen gilt x₁+x₂=-p und x₁x₂=q.