Ausgangsform
Eine quadratische Funktion wird zunächst in ihrer allgemeinen Form betrachtet.
\[f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0\]
Halber Linearkoeffizient
0
Ergänzungsterm
0
Scheitelpunkt xₛ
0
Scheitelpunkt yₛ
0
Grundlagen
Ziel der Umformung
Die Scheitelpunktform zeigt Verschiebung, Öffnung und Scheitelpunkt unmittelbar.
\[f(x)=a(x-x_S)^2+y_S\]
Zentrale Identität
Der Linearterm wird durch ein ergänztes Quadrat in ein Binom überführt.
\[x^2+px=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\]
Allgemeines Ergebnis
Nach Ausklammern von a und Zusammenfassen ergibt sich:
\[ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\]
Koeffizienten festlegen
Allgemeine Form
Direktes Ergebnis
Scheitelpunktform
\(\displaystyle f(x)=2(x+2)^2-5\)
\(\displaystyle f(x)=2x^2+8x+3\)
Ausgeklammerter Linearfaktor b/a
Halber Wert b/(2a)
Zu ergänzendes Quadrat
Scheitelpunkt S
Diskriminante Δ
Nullstellen
Gültige quadratische Funktion
Die Umformung ist eindeutig möglich.
Quadratische Ergänzung Schritt für Schritt
Schritt 1 von 6
Ausgangsform
Numerische Kontrolle
| x | ax²+bx+c | a(x−xₛ)²+yₛ | Differenz |
|---|
Identitätsprüfung
Beide Darstellungen liefern dieselben Funktionswerte.
Funktionsgraph
allgemeine Form
Scheitelpunktform
Symmetrieachse
Geometrische Bedeutung
Horizontale Verschiebung
Vertikale Verschiebung
Öffnung
Breite
Interpretation
Die quadratische Ergänzung verändert die Funktion nicht. Sie schreibt dieselbe Parabel lediglich in einer anderen Form.
Formelsammlung
Grundidentität
\[x^2+px=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\]
Erzeugt ein vollständiges Quadrat.
Allgemeine Ergänzung
\[ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\]
Direkte Umformung der allgemeinen Form.
Scheitelpunkt
\[x_S=-\frac{b}{2a},\qquad y_S=c-\frac{b^2}{4a}\]
Direkt aus der Scheitelpunktform ablesbar.
Scheitelpunktform
\[f(x)=a(x-x_S)^2+y_S\]
Zeigt Verschiebung und Öffnung der Parabel.
Diskriminante
\[\Delta=b^2-4ac\]
Der konstante Term der Scheitelpunktform ist \(-\Delta/(4a)\).
Nullstellen aus der Ergänzung
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Entspricht der Mitternachtsformel.
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Vertiefung
Warum ergänzt man ein Quadrat?
Die allgemeine quadratische Form enthält einen linearen Term bx. Durch das Ergänzen eines passenden Quadrats entsteht ein vollständiges Binom, das sich mit der ersten binomischen Formel zusammenfassen lässt.
Warum bleibt der Ausdruck unverändert?
Der Ergänzungsterm wird gleichzeitig addiert und subtrahiert. Die Summe dieser beiden Änderungen ist null. Dadurch ändert sich nur die Darstellung, nicht aber der Wert des Ausdrucks.
Scheitelpunkt direkt ablesen
In der Form a(x-xS)²+yS ist der Scheitelpunkt unmittelbar sichtbar. Der quadratische Term wird bei x=xS null, sodass der Funktionswert dort genau yS beträgt.
Zusammenhang mit der Diskriminante
Der konstante Term der vervollständigten Form ist −Δ/(4a). Damit verbindet die quadratische Ergänzung den Scheitelpunkt direkt mit der Diskriminante und der Zahl reeller Nullstellen.
Herleitung der Nullstellenformel
Setzt man die vervollständigte Form gleich null, isoliert das Quadrat und zieht anschließend die Wurzel, erhält man die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Anwendungen
Die quadratische Ergänzung wird bei Extremwertproblemen, Parabelverschiebungen, Integralen, Differentialgleichungen, Normalverteilungen und vielen algebraischen Umformungen eingesetzt.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die quadratische Ergänzung?
Sie ist eine algebraische Umformungsmethode, mit der ein quadratischer Ausdruck in ein vollständiges Quadrat und einen Restterm zerlegt wird.
Wie bestimmt man den Ergänzungsterm?
Nach dem Ausklammern von a halbiert man den Koeffizienten von x und quadriert diesen halben Wert.
Warum muss a zuerst ausgeklammert werden?
Die binomische Formel setzt vor x² den Koeffizienten 1 voraus. Deshalb wird a aus den x-Termen ausgeklammert.
Wie lautet die Scheitelpunktform?
Sie lautet f(x)=a(x−xS)²+yS.
Wie erhält man den Scheitelpunkt?
xS=−b/(2a) und yS=c−b²/(4a).
Was ist der Zusammenhang mit der Mitternachtsformel?
Die Mitternachtsformel entsteht, wenn die vervollständigte quadratische Form gleich null gesetzt und nach x aufgelöst wird.