Potenzfunktion
Der Exponent \(\tau\) bestimmt den grundlegenden Verlauf, der Faktor \(a\) skaliert und spiegelt den Graphen.
\[f(x)=a x^\tau\]
\[x\ge 0\quad\text{bei beliebigem reellen }\tau\]
Funktionswert f(x)
0
Ableitung f′(x)
0
Wachstumsfaktor
0
Verdopplung / Halbwert
–
Grundlagen
Ableitung der Potenzfunktion
Die Potenzregel reduziert den Exponenten um eins.
\[f'(x)=a\tau x^{\tau-1}\]
Exponentialfunktion
Die Variable steht im Exponenten. \(A\) ist der Anfangswert.
\[f(x)=A a^x,\qquad A>0,\ a>0,\ a\neq 1\]
\[f'(x)=A a^x\ln(a)\]
Natürliche Exponentialfunktion
Die Funktion mit der Basis \(e\) ist gleich ihrer eigenen Ableitung.
\[f(x)=e^x,\qquad f'(x)=e^x\]
\[e\approx 2{,}718281828\]
Natürliche Exponentialfunktion und Regeln für e-Funktionen
Natürliche Exponentialfunktion
Die Euler-Zahl \(e\) ist die natürliche Basis des exponentiellen Wachstums.
\[f(x)=e^x\]
\[e\approx 2{,}718281828459045\]
Ableitung und Integral
Die natürliche Exponentialfunktion bleibt beim Ableiten und Integrieren erhalten.
\[\frac{d}{dx}e^x=e^x\]
\[\int e^x\,dx=e^x+C\]
Produkt und Quotient
Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert beziehungsweise subtrahiert.
\[e^s\cdot e^t=e^{s+t}\]
\[\frac{e^s}{e^t}=e^{s-t}\]
Potenz, Kehrwert und Logarithmus
Die Potenzregel wird im Exponenten ausgeführt. \(\ln\) ist die Umkehrfunktion.
\[\left(e^s\right)^t=e^{st},\qquad e^{-s}=\frac{1}{e^s}\]
\[\ln(e^x)=x,\qquad e^{\ln x}=x\quad(x>0)\]
e-Regeln interaktiv prüfen
Exponenten
Numerische Kontrolle
Produktregel
\(\displaystyle e^s\cdot e^t=e^{s+t}\)
Produkt \(e^s e^t\)
Zusammengefasst \(e^{s+t}\)
Quotient \(e^s/e^t=e^{s-t}\)
Potenz \((e^s)^t=e^{st}\)
Kehrwert \(e^{-s}=1/e^s\)
Maximale Rundungsdifferenz
Identität bestätigt
Beide Seiten der Exponentialgesetze liefern denselben Wert.
Funktionsrechner
Parameter
Ergebnisse
Aktuelle Funktion
\(\displaystyle f(x)=x^2\)
\(\displaystyle f'(x)=2x\)
Funktionswert
Ableitungswert
Funktionsart
Monotonie
y-Achsenabschnitt
Definitionsbereich
Gültige Eingabe
Die Funktion ist im gewählten Bereich definiert.
Funktionsgraph
\(f(x)\)
\(f'(x)\)
Vergleichsfunktion
Darstellungsoptionen
Aktueller x-Wert
Aktueller y-Wert
Steigung an x
Grenzverhalten
Hinweis
Sehr große Funktionswerte werden am Diagrammrand abgeschnitten, damit der Verlauf lesbar bleibt.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Einordnung der Exponentialfunktion
\[f(x)=A a^x=Ae^{kx},\qquad k=\ln(a)\]
Bei \(a>1\) liegt Wachstum vor. Bei \(0<a<1\) liegt Zerfall vor. Die Basis \(a=1\) ergibt eine konstante Funktion.
Zeitkennzahlen
Kontinuierliche Rate k
Prozentuale Änderung je Einheit
Verdopplungszeit
Halbwertszeit
Nur für Exponentialfunktionen
Wählen Sie den Modus Exponentialfunktion oder natürliche Exponentialfunktion.
Formelsammlung
Potenzfunktion
\[f(x)=a x^\tau\]
Allgemeine Form einer Potenzfunktion.
Ableitung der Potenzfunktion
\[f'(x)=a\tau x^{\tau-1}\]
Potenzregel.
Exponentialfunktion
\[f(x)=A a^x\]
\(A>0,\ a>0,\ a\neq1\).
Ableitung der Exponentialfunktion
\[f'(x)=A a^x\ln(a)\]
Das Vorzeichen hängt von \(\ln(a)\) ab.
Natürliche Exponentialfunktion
\[f(x)=e^x,\qquad f'(x)=e^x\]
\(e\approx2{,}718281828\).
Umrechnung der Basis
\[A a^x=Ae^{x\ln(a)}\]
Jede positive Basis lässt sich mit \(e\) darstellen.
Produktregel für e-Potenzen
\[e^s\cdot e^t=e^{s+t}\]
Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.
Quotientenregel für e-Potenzen
\[\frac{e^s}{e^t}=e^{s-t}\]
Beim Dividieren werden die Exponenten subtrahiert.
Potenz einer e-Potenz
\[\left(e^s\right)^t=e^{st}\]
Die Exponenten werden multipliziert.
Negativer Exponent
\[e^{-s}=\frac{1}{e^s}\]
Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert.
Ableitung und Integral
\[\frac{d}{dx}e^x=e^x,\qquad \int e^x\,dx=e^x+C\]
Die Funktion bleibt unter Ableitung und Integration erhalten.
Umkehrbeziehungen
\[\ln(e^x)=x,\qquad e^{\ln x}=x\quad(x>0)\]
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von \(e^x\).
Verdopplungszeit
\[T_2=\frac{\ln 2}{\ln a}\qquad(a>1)\]
Zeit bis zur Verdopplung.
Halbwertszeit
\[T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln a}\qquad(0<a<1)\]
Zeit bis zur Halbierung.
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Potenzfunktionen
Potenzfunktionen beschreiben Zusammenhänge, bei denen eine Variable mit einem festen Exponenten auftritt. Je nach Exponent entstehen Parabeln, Wurzelfunktionen, Hyperbeln oder andere typische Kurven.
Exponentialfunktionen
Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten. Gleiche Zeitschritte führen daher stets zum gleichen relativen Änderungsfaktor.
Wachstum und Zerfall
Für \(a>1\) wächst die Funktion. Für \(0<a<1\) fällt sie. Der Anfangswert ist \(f(0)=A\).
Natürliche Exponentialfunktion
Die Funktion \(e^x\) ist in Analysis, Statistik, Finanzmathematik, Physik und Technik zentral, weil sie gleich ihrer eigenen Ableitung ist.
Logarithmus als Umkehrfunktion
Exponentialgleichungen werden häufig durch Logarithmieren gelöst. Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von \(e^x\).
Anwendungen
Typische Anwendungen sind Zinseszins, Bevölkerungswachstum, radioaktiver Zerfall, Abkühlung, Diffusion, epidemische Modelle und kontinuierliche Verzinsung.
Häufig gestellte Fragen
Was ist eine Potenzfunktion?
Eine Potenzfunktion hat die Form \(f(x)=a x^\tau\). Der Exponent \(\tau\) bestimmt den Verlauf.
Was ist eine Exponentialfunktion?
Eine Exponentialfunktion hat die Form \(f(x)=A a^x\). Die Variable steht im Exponenten.
Wann liegt Wachstum vor?
Bei \(a>1\) wächst die Exponentialfunktion.
Wann liegt Zerfall vor?
Bei \(0<a<1\) fällt die Exponentialfunktion.
Warum ist \(e^x\) besonders?
Die natürliche Exponentialfunktion ist gleich ihrer eigenen Ableitung.
Welche Rechenregeln gelten für e-Potenzen?
Es gelten \(e^s e^t=e^{s+t}\), \(e^s/e^t=e^{s-t}\) und \((e^s)^t=e^{st}\).
Wie lautet das Integral von \(e^x\)?
Eine Stammfunktion ist \(e^x+C\).
Was ist die Umkehrfunktion von \(e^x\)?
Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus \(\ln(x)\).
Wie berechnet man die Verdopplungszeit?
\(T_2=\ln(2)/\ln(a)\) für \(a>1\).
Wie berechnet man die Halbwertszeit?
\(T_{1/2}=\ln(1/2)/\ln(a)\) für \(0<a<1\).