Logarithmusfunktion
Der Faktor \(a\) streckt, staucht oder spiegelt den Graphen. Der Parameter \(b\) verschiebt ihn horizontal.
\[f(x)=a\ln(x+b)\]
\[x+b>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>-b\]
Funktionswert f(x)
0
Ableitung f′(x)
0
Nullstelle x₀
0
Asymptote
0
Grundlagen
Ableitung
Die Ableitung folgt aus der Kettenregel.
\[f'(x)=\frac{a}{x+b}\]
Grundwerte und Umkehrfunktion
\[\ln(1)=0,\qquad \ln(e)=1\]
\[e^{\ln(x)}=x\quad(x>0),\qquad \ln(e^x)=x\]
Nullstelle und Asymptote
Für \(a\neq0\) liegt die Nullstelle dort, wo das Logarithmusargument gleich 1 ist.
\[x_0=1-b\]
\[\text{senkrechte Asymptote:}\quad x=-b\]
Logarithmusfunktions-Rechner
Parameter
Ergebnisse
Aktuelle Funktion
\(\displaystyle f(x)=2\ln(x+1)\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{2}{x+1}\)
\(\displaystyle f(2)=2\ln(2+1)\)
Auswertungsstelle x
Funktionswert f(x)
Ableitungswert f′(x)
Logarithmusargument x+b
Definitionsbereich
Nullstelle
Asymptote
Monotonie
Gültige Eingabe
Das Logarithmusargument ist positiv.
Regeln für den natürlichen Logarithmus prüfen
Prüfwerte
Numerische Kontrolle
Produktregel
\(\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\)
Produktregel
Quotientenregel
Potenzregel
\(e^{\ln(x)}=x\)
\(\ln(e^p)=p\)
Maximale Differenz
Identitäten bestätigt
Beide Seiten der Logarithmusregeln liefern denselben Wert.
Funktionsgraph
\(f(x)\)
\(f'(x)\)
Asymptote \(x=-b\)
Darstellungsoptionen
Aktueller x-Wert
Aktueller y-Wert
Steigung an x
Grenzverhalten
Graphische Bedeutung
Der Graph nähert sich der Geraden \(x=-b\), ohne sie zu schneiden.
Formelsammlung
Logarithmusfunktion
\[f(x)=a\ln(x+b)\]
Definitionsbedingung: \(x+b>0\).
Ableitung
\[f'(x)=\frac{a}{x+b}\]
Folgt aus der Kettenregel.
Grundwerte
\[\ln(1)=0,\qquad \ln(e)=1\]
Die wichtigsten Referenzwerte.
Umkehrbeziehungen
\[e^{\ln(x)}=x\quad(x>0),\qquad \ln(e^x)=x\]
\(\ln\) und \(e^x\) sind Umkehrfunktionen.
Produktregel
\[\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\quad(x,y>0)\]
Das Produkt wird zur Summe.
Quotientenregel
\[\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y)\quad(x,y>0)\]
Der Quotient wird zur Differenz.
Potenzregel
\[\ln(x^p)=p\ln(x)\quad(x>0)\]
Der Exponent wird zum Faktor.
Nullstelle und Asymptote
\[x_0=1-b,\qquad x_{\mathrm{A}}=-b\]
Gilt für \(a\neq0\).
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Aufgabe
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Vertiefung
Definitionsbereich
Logarithmen sind im Bereich der reellen Zahlen nur für positive Argumente definiert. Bei \(f(x)=a\ln(x+b)\) muss deshalb \(x>-b\) gelten.
Horizontale Verschiebung
Der Parameter \(b\) verschiebt die Grundfunktion \(\ln(x)\) horizontal. Gleichzeitig wandert die senkrechte Asymptote von \(x=0\) nach \(x=-b\).
Streckung und Spiegelung
Der Faktor \(a\) verändert die vertikale Skalierung. Für \(a<0\) wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.
Umkehrfunktion
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von \(e^x\). Deshalb gelten \(e^{\ln(x)}=x\) für \(x>0\) und \(\ln(e^x)=x\).
Logarithmusgesetze
Produkte, Quotienten und Potenzen lassen sich durch Logarithmen in Summen, Differenzen und Faktoren umwandeln. Das erleichtert algebraische Umformungen.
Anwendungen
Logarithmusfunktionen treten bei Wachstumsmodellen, Zinsrechnung, Schallpegeln, pH-Werten, Informationsmaßen, Statistik und der Lösung von Exponentialgleichungen auf.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die natürliche Logarithmusfunktion?
Die Funktion \(\ln(x)\) ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion \(e^x\).
Welchen Definitionsbereich besitzt \(\ln(x)\)?
Der natürliche Logarithmus ist nur für \(x>0\) definiert.
Wie lautet die Ableitung von \(a\ln(x+b)\)?
\(f'(x)=a/(x+b)\).
Wo liegt die Nullstelle von \(a\ln(x+b)\)?
Für \(a\neq0\) gilt \(x_0=1-b\).
Wo liegt die senkrechte Asymptote?
Sie liegt bei \(x=-b\).
Welche Logarithmusgesetze gelten?
\(\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\), \(\ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y)\) und \(\ln(x^p)=p\ln(x)\).